Chytré Kalkulačky

Kalkulačka trojúhelníku

Strany, úhly, obsah a obvod libovolného trojúhelníku

a=3b=4c=5A=36,9°B=53,1°C=90°
RůznostrannýPravoúhlý
Strana a
3
Strana b
4
Strana c
5
Úhel A
36,87°
Úhel B
53,13°
Úhel C
90°
Obvod
12
Obsah
6

Další výpočty

Polooměr vepsané kružnice (r)1
Polooměr opisné kružnice (R)2,5
Výška na stranu a (h_a)4
Výška na stranu b (h_b)3
Výška na stranu c (h_c)2,4
Poloobvod (s)6

Trojúhelníková nerovnost

Základní podmínka existence trojúhelníku: součet libovolných dvou stran musí být větší než třetí strana. Matematicky: a + b > c, a + c > b, b + c > a. Pokud to neplatí, trojúhelník s danými stranami nelze zkonstruovat.

Pythagorova věta — jen pro pravoúhlé trojúhelníky

a² + b² = c² platí pouze tehdy, kdy úhel C = 90°. Přepona c je vždy proti pravému úhlu — je nejdelší stranou.

Pythagorejské trojice (celé čísla): 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25. Stavbaři tradičně používají trojici 3-4-5 pro kontrolu pravého úhlu.

Sinová a kosinová věta

Sinová věta: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R (kde R je poloměr opisné kružnice). Použijte pro ASA a AAS konfigurace.

Kosinová věta: c² = a² + b² − 2ab·cos(C). Zobecnění Pythagorovy věty pro libovolné trojúhelníky. Použijte pro SSS a SAS konfigurace.

Obsah trojúhelníku — 3 způsoby

  • ½ × základna × výška — nejjednodušší, potřebujete výšku
  • ½ × a × b × sin(C) — ze dvou stran a sevřeného úhlu
  • Heronův vzorec: √(s(s−a)(s−b)(s−c)) kde s = (a+b+c)/2 — jen ze tří stran

Časté dotazy

Základní vzorec: S = (a × v) / 2, kde a je délka strany a v je výška na tuto stranu. Pro rovnostranný trojúhelník se stranou a: S = (√3 / 4) × a². Heronův vzorec (pro známé všechny tři strany a, b, c): s = (a+b+c)/2, S = √(s(s-a)(s-b)(s-c)). Pro pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami a, b: S = (a × b) / 2.

Pythagorova věta platí pouze pro PRAVOÚHLÝ trojúhelník: c² = a² + b², kde c je přepona (nejdelší strana proti pravému úhlu) a a, b jsou odvěsny. Příklad: odvěsny 3 a 4 → přepona = √(9+16) = √25 = 5. Pythagorejské trojice (celá čísla): (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (7,24,25). Praktické využití: stavebnictví, navigace, výpočty vzdáleností.

Sinová věta: a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(γ) = 2R (R = poloměr opsané kružnice). Použijte, když znáte 1 stranu a 2 úhly, nebo 2 strany a úhel proti jedné z nich. Kosinová věta: c² = a² + b² − 2ab·cos(γ). Zobecnění Pythagorovy věty pro libovolný trojúhelník. Použijte, když znáte 2 strany a úhel mezi nimi, nebo všechny 3 strany a hledáte úhel.

Rovnostranný: všechny strany stejné (a=b=c), všechny úhly 60°. Rovnoramenný: dvě strany stejné (a=b), dva úhly stejné. Obecný (různostranný): všechny strany různě dlouhé. Podle úhlů: ostroúhlý (všechny úhly < 90°), pravoúhlý (jeden úhel = 90°), tupoúhlý (jeden úhel > 90°). Součet vnitřních úhlů VŽDY = 180°, bez ohledu na typ.

Obvod = a + b + c (součet všech tří stran). Pro rovnostranný trojúhelník: o = 3a. Pro rovnoramenný s rameny a a základnou b: o = 2a + b. Pro pravoúhlý se známými odvěsnami: o = a + b + √(a²+b²). Pokud máte jen 2 strany a úhel, nejdřív použijte kosinovou větu k výpočtu třetí strany.

Těžnice: spojnice vrcholu se středem protilehlé strany. Všechny 3 těžnice se protínají v těžišti (v poměru 2:1 od vrcholu). Výška: kolmice z vrcholu na protilehlou stranu (nebo její prodloužení u tupoúhlého). Osa úhlu: dělí úhel na dvě stejné poloviny. Tři osy se protínají ve středu vepsané kružnice. Tři osy stran (kolmice procházející středem strany) se protínají ve středu opsané kružnice.

Vždy platí: α + β + γ = 180°. Pokud znáte 2 úhly, třetí = 180° − α − β. Ze stran (Heronův přístup): cos(γ) = (a² + b² − c²) / (2ab). Pak γ = arccos(...). V pravoúhlém trojúhelníku: tan(úhel) = protilehlá odvěsna / přilehlá odvěsna, sin = protilehlá / přepona, cos = přilehlá / přepona. Mnemonika: SOHCAHTOA.

Shodné trojúhelníky: mají stejnou velikost i tvar. Kritéria: sss (všechny strany), sus (strana-úhel-strana), usu (úhel-strana-úhel), Ssu (větší strana, jiná strana, úhel proti větší straně). Podobné trojúhelníky: mají stejný tvar, ale různou velikost — stejné úhly, strany v poměru. Kritéria: uu (dva úhly), sss (poměr stran), sus (poměr 2 stran a úhel mezi nimi).

Mohlo by vás zajímat

Zlomky
Sčítání, odčítání, násobení
Statistika
Průměr, medián, odchylka
Procenta
Sleva, nárůst, podíl
Jednotky
Délka, hmotnost, teplota